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日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教師酈言與北京化工大學(xué)數(shù)理學(xué)院教師李振業(yè)在期刊《International Mathematics Research Notices》上合作發(fā)表題為《Finiteness of Q-Fano Compactifications of Semisimple Groups with K?hler–Einstein Metrics》的研究論文。該研究證明了對(duì)于連通、半單復(fù)Lie群G，具有K?hler-Einstein度量的Q-FanoG-緊化空間只有至多有限個(gè)。

約化復(fù)Lie群的緊化空間是一類有高度對(duì)稱性的代數(shù)簇，它的幾何結(jié)構(gòu)往往有顯式的組合表達(dá)。近年來，人們?cè)谶@類空間中構(gòu)造了一系列例子，如構(gòu)造存在特定典則度量（如K?hler-Einstein度量、各種孤立子度量）的Fano簇，K?hler-Ricci流的第二類奇點(diǎn)等。這些例子回答了幾何分析中許多熱點(diǎn)問題，表明研究Lie群緊化空間對(duì)于認(rèn)識(shí)幾何課題、檢驗(yàn)重要的幾何猜想都十分有意義。T. Delcroix [1]首先給出了連通、約化復(fù)Lie群的光滑F(xiàn)ano緊化空間上存在K?hler-Einstein度量的組合判據(jù)；酈言-田剛-朱小華[2]用變分法證明了上述判據(jù)對(duì)滿足klt條件的Q-Fano緊化空間也成立。另一方面，酈言-田剛-朱小華[3]證明了K-不穩(wěn)定光滑SO4-Fano緊化空間上的K?hler-Ricci流產(chǎn)生第二類奇點(diǎn)，若其極限是Q-Fano SO4緊化空間，則它必定具有（奇異）K?hler-Einstein度量且與初始流形有相同的體積。[2]對(duì)半單群SO4證明了同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的極限空間不存在，因此相應(yīng)的K?hler-Ricci流極限空間不再是SO4-緊化空間。

論文進(jìn)一步窮舉了所有帶（奇異）K?hler-Einstein度量的SO4-緊化空間。實(shí)際上，論文證明了對(duì)一般的連通、半單復(fù)Lie群G，具有（奇異）K?hler-Einstein度量的Q-FanoG-緊化空間都只有至多有限個(gè)，并給出了窮舉這些緊化空間的算法。

論文鏈接地址：https://academic.oup.com/imrn/article/2022/15/11776/6231716

附課題組及負(fù)責(zé)人簡(jiǎn)介：

北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院幾何團(tuán)隊(duì)積極開展前沿問題研究，近年取得了一系列重要研究成果。

酈言，本科畢業(yè)于浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，博士畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，曾在北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心從事博士后研究。主要研究齊性空間及其緊化空間上的幾何分析問題。主持國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目。曾在Journal of Functional Analysis，Mathematische Zeitschrift，Математичский Сборник等期刊發(fā)表SCI論文多篇。