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日前，北京理工大學數學與統計學院朱蓉禪教授在國際頂級學術期刊《Communications on Pure and Applied Mathematics》上發表了題為《On Ill- and Well-Posedness of Dissipative Martingale Solutions to Stochastic 3D Euler Equations》的研究論文。該研究首次對于隨機三維歐拉方程提出了耗散鞅解的概念并證明了耗散鞅解的存在性、弱強唯一性、分布不唯一、馬氏解的存在性和不唯一性。更進一步，朱蓉禪教授和合作者證明了隨機三維Navier-Stokes方程的馬氏解不唯一，并對隨機三維Navier-Stokes方程首次構造了概率意義的強解，解決了隨機偏微分方程領域一個困擾多年的問題。相關結果近期被概率論頂級期刊《The Annals of probability》接收。

三維Navier-Stokes方程和三維歐拉方程是流體方程中的重要模型，被很多數學家廣泛研究。關于三維Navier-Stokes方程整體光滑解的存在性是Clay所千禧年問題之一。隨機流體方程由于更容易得到遍歷性，被作為研究湍流的重要模型。Kolmogolov1941年給出了湍流滿足統計規律的形式推導，其嚴格數學證明是一個公開問題。最近確定的流體方程由于凸積分方法有了很大發展，包括Isett證明了三維歐拉方程的Onsager猜想，Buckermaster-Vicol（2019 Clay聯合研究獎）證明了三維Navier-Stokes方程弱解的不唯一結果。朱蓉禪教授和合作者的研究首次將凸積分方法用于研究隨機流體方程，并討論了解的分布性質，研究了隨機三維歐拉方程和Navier-Stokes方程解的分布性質，得到了解的分布不唯一。進一步，論文對于隨機三維歐拉/Navier-Stokes方程提出了合適的鞅解概念，由此可以構造馬氏過程解，并得到馬氏過程解的不唯一。相關結果被Clay獎獲得者美國科朗所Vicol教授在[Bull. Amer.Math. Soc. 58(1):1-44, 2021]中評價為Remarkable的工作。

對于隨機三維歐拉/Navier-Stokes方程由于無法得到軌道唯一性，如何構造概率意義的強解是隨機偏微分方程領域的公開問題。論文通過引入凸積分方法給出構造隨機偏微分方程解新的迭代消去方法，由此首次構造了隨機三維歐拉/Navier-Stokes方程的概率意義上的強解。

該研究工作由朱蓉禪教授和德國比勒菲爾德大學的Hofmanova教授與中科院數學與系統科學院朱湘禪研究員合作完成。朱蓉禪教授為本文的通訊作者。本工作得到國家自然科學基金的支持。

論文鏈接地址：https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.22023

附課題組及負責人簡介：

北京理工大學數學與統計學院概率團隊積極開展實質性國際合作研究，取得了一系列重要研究成果。

朱蓉禪，教授，博士生導師，本科畢業于四川大學、博士由中科院數學與系統科學研究院與德國比勒菲爾德大學聯合培養。德國比勒菲爾德大學訪問學者。長期從事隨機偏微分方程、狄氏型、隨機分析的研究工作，先后主持/完成了國國家自然科學基金優秀青年基金項目、面上項目、青年項目。以第一/通訊作者在Communications on Pure and Applied Mathematics, The Annals of Probability, Probability Theory and Related Fields, Communication in Mathematical Physics, Journal of Functional Analysis等期刊發表SCI論文30余篇。