北理工朱蓉禪副教授在《The annals of Probability》上發(fā)表?_3^4動力模型格點(diǎn)逼近的研究成果
發(fā)布日期：2018-11-19 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：吳一凡 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院朱蓉禪副教授在國際頂級學(xué)術(shù)期刊《The annals of Probability》上發(fā)表了題為《Lattice approximation to the dynamical 
model》的研究論文。該研究構(gòu)造了以格點(diǎn)上
場的逼近測度為不變分布的有限維系統(tǒng)收斂到動力模型。 這對應(yīng)于量子場論中重要的場格點(diǎn)逼近，由此可以得到
動力模型以場為不變測度。
動力模型是對量子場論中基本模型場提出的隨機(jī)量子化模型，即構(gòu)造一個隨機(jī)偏微分方程即動力模型使得當(dāng)時間趨于無窮時方程的解依分布收斂到場。由此運(yùn)用隨機(jī)分析的方法研究場。動力模型是一類帶有奇異噪聲的隨機(jī)偏微分方程，如何在d="3時給出方程解的適定性是公開了很多年的問題。2011年英國帝國理工大學(xué)的Hairer教授在中用粗糙路徑理論處理方程解在一維空間的奇異性,并以此構(gòu)造了一維KPZ方程的解。之后，Hairer教授結(jié)合泰勒展開的思想提出了一套新理論：正則結(jié)構(gòu)理論(regularity" structure)，給出了次臨界條件下證明帶有奇異噪聲的隨機(jī)偏微分方程局部適定性的一般方法，這是隨機(jī)偏微分方程領(lǐng)域的重大發(fā)展。由此證明了動力模型局部適定性。Haire教授因此獲得了2014年Fields獎。同時，Gubinelli-Imkeller-Perkowski基于被控制的粗糙路徑(controlled rough path)和調(diào)和分析中的仿積提出了擬控制分布(paracontrolled distribution)的方法。這個方法也可以用來研究奇異的隨機(jī)偏微分方程。Gubinelli教授也因此受邀在2018年國際數(shù)學(xué)家大會作45分鐘報告。目前，這兩套方法是隨機(jī)分析領(lǐng)域的重大發(fā)展。
場的格點(diǎn)逼近是研究和構(gòu)造場的一種重要方法，它保持了測度的鐵磁本質(zhì)和Osterwalder–Schrader公理。朱蓉禪副教授在上訴論文中運(yùn)用擬控制分布首先研究了以格點(diǎn)上場的逼近測度為不變分布的有限維系統(tǒng)。動力模型可以看成是三維環(huán)面上的模型，因此要證明收斂性需要將格點(diǎn)系統(tǒng)模型延拓到環(huán)面上進(jìn)行比較。這時延拓時會產(chǎn)生有限維投影算子，這個算子會導(dǎo)致擬控制分布中非常本質(zhì)的交換子估計(jì)不成立，分析方法無法運(yùn)用。這時朱蓉禪副教授及合作者在論文中將投影算子中余項(xiàng)部分運(yùn)用概率計(jì)算的方法證明了收斂。
這一結(jié)果進(jìn)一步增進(jìn)了人們對于場動力系統(tǒng)及其格點(diǎn)逼近之間的關(guān)系。既可以用來聯(lián)系場和動力模型，也可以用來構(gòu)造與場對應(yīng)的狄氏型，由此回答了以場為參考測度的二次型可閉的公開問題。
該研究工作由朱蓉禪副教授和北京交通大學(xué)朱湘禪副教授合作完成。朱蓉禪副教授為本文的第一作者。本工作得到國家自然科學(xué)基金的支持。
論文鏈接地址：https://projecteuclid.org/euclid.aop/1517821226
【課題組及負(fù)責(zé)人簡介】
北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院概率團(tuán)隊(duì)積極開展實(shí)質(zhì)性國際合作研究，團(tuán)隊(duì)成員積極開展國際學(xué)術(shù)交流。
朱蓉禪，副教授，碩士生導(dǎo)師，本科畢業(yè)于四川大學(xué)、博士是中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院與德國比勒菲爾德大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng)。德國比勒菲爾德大學(xué)訪問學(xué)者。長期從事隨機(jī)偏微分方程、狄氏型、隨機(jī)分析的研究工作，先后主持/完成了國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目、青年項(xiàng)目。以第一/通訊作者在The annals of probability、Communication in mathematical physics、Journal of functional analysis、Journal of differential equaitons等期刊發(fā)表SCI論文20余篇。
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